私は、昨年12月に自己所有の土地と家屋の売買契約を行い、今年2月に買主への所有権移転登記を済ませました。この場合、今年度の固定資産税は、誰が納めることになるのでしょうか？

今年度の固定資産税は、あなたに課税されます。固定資産税は、賦課期日である毎年1月1日現在の登記簿または固定資産課税台帳に記載されている所有者に課税されることになっているからです。
そのため、年の途中で売買により所有者ではなくなった場合でも、その年の1月1日現在の所有者であるあなたが、その年度の固定資産税を納める義務があります。
なお、不動産の売買契約が行われる際に、固定資産税の一部を買主が負担するという契約がなされる場合もあるようですが、これはあくまでもその売買契約に基づくもので、固定資産税の課税とはまったく関係ありません。