65歳になりましたが、介護保険料について、健康保険の介護保険分も支払っています。二重支払いになりませんか。

二重にならないよう計算されています。
介護保険料は、65歳になられる月からは長浜市へ直接納めていただくことになります。国民健康保険の場合、65歳になられる月の前月までの介護保険料をあらかじめ月割り計算し、その額を年度末までの納期に振り分けています。そのため、納期は重複することになりますが、保険料の二重払いにはなりません。
なお、その他の健康保険に加入されている場合は、取扱いが異なりますので、詳しくはご加入の健康保険組合などにご確認ください。